Teorema di Cauchy
Date due funzioni:
$$f: [a,b]\in\mathbb{R} \to\mathbb{R}$$
$$g: [a,b]\in\mathbb{R} \to\mathbb{R}$$
entrambe definite e continue nell’intervallo $[a,b]$ e derivabili in $(a,b).$ Sotto queste ipotesi, esiste almeno un punto $x_0\in(a,b)$ tale che:
$$[f(b)-f(a)]\cdot g'(x_0)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x_0)$$
Significato geometrico del teorema di Cauchy
La tesi del teorema di Cauchy possiamo riscriverla anche nella forma:
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$
Il teorema di Cauchy suggerisce che possiamo utilizzare in maniera indifferente il rapporto tra gli incrementi di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ continue e derivabili nello stesso intervallo oppure il rapporto tra le rispettive derivate, valutate ciascuna nel punto $x_0$ dello stesso intervallo.