Derivate Fondamentali
Questa pagina raccoglie le derivate fondamentali ovvero le derivate delle funzioni elementari ognuna con la relativa dimostrazione.
Derivata di una costante
Derivata della variabile indipendente $x$
Derivata della variabile indipendente $a^{x}$
Derivata della variabile indipendente $e^{x}$
Derivata della variabile indipendente $a^{f(x)}$
Derivata della variabile indipendente $e^{f(x)}$
Derivata della variabile indipendente $x^{n}$
Derivata della variabile indipendente $f(x)^{n}$
Derivata della variabile indipendente $ln(x)$
Derivata della variabile indipendente $ln(f(x))$
Derivata della variabile indipendente $sin(x)$
Derivata della variabile indipendente $arcsin(x)$
Derivata della variabile indipendente $sin(f(x))$
Derivata della variabile indipendente $arcsin(f(x))$
Derivata della variabile indipendente $cos(x)$
Derivata della variabile indipendente $arccos(x)$
Derivata della variabile indipendente $arccos(f(x))$
Derivata di una funzione composta
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Derivata di una costante $c$ $0$
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Derivata della variabile indipendente $x$$1$
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Derivata della funzione esponenziale $e^x$$e^x$
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Derivata della funzione $sin(x)$ $cos(x)$
Calcoliamo la derivata della funzione $f(x)=sin(x)$.
Dimostrazione
Per dimostrare la nostra tesi, partiremo dalla definizione di derivata di una funzione ovvero il limite del rapporto incrementale di $f(x)$ per $h\to 0$.
Partiamo, dunque, dalla definizione di derivata di una funzione:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\hspace{1cm}(1)$$
Ricordiamo adesso la formula di addizione degli archi del $sin(\cdot)$:
$$sin(x+h)=sin(x)\cdot cos(h)+cos(x)\cdot sin(h)$$
e sostituiamola nella (1) in luogo di $sin(x+h)$:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[sin(x)\cdot cos(h)+cos(x)\cdot sin(h)]-sin(x)}{h}$$
Raccogliendo a fattore comune il $sin(x)$ nel primo e nell’ultimo addendo al numeratore, otteniamo:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)\cdot [cos(h)-1]+cos(x)\cdot sin(h)}{h}\hspace{1cm}(2)$$
Fermiamoci per un attimo e osserviamo che, in virtù della decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, ovvero
$$\frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$$
allora l’argomento del limite (2) possiamo riscriverlo come segue:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\frac{sin(x)\cdot [cos(h)-1]}{h}+\frac{cos(x)\cdot sin(h)}{h}\right)\hspace{1cm}(3)$$
Osserviamo adesso che il limite (3) possiamo riscriverlo come somma di limiti ricordando la regola secondo cui il limite della somma è la somma di limiti.
Quindi:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)\cdot [cos(h)-1]}{h}+\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{cos(x)\cdot sin(h)}{h}\hspace{1cm}(4)$$
Il limite viene fatto sulla variabile $h$, per cui possiamo portare fuori dal segno di limite il $sin(x)$ e il $cos(x)$ da ciascuno dei due addendi della (4). Per cui:
$$f'(x)=sin(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}+cos(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}\hspace{1cm}(5)$$
Fermiamoci per un attimo sul primo dei due addendi della (5) e osserviamo che
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\hspace{1cm}(6)$$
Siamo, cioè, di fronte ad una forma indeterminata del tipo $0/0$. Per eliminare tale forma indeterminata, moltiplichiamo e dividiamo la (6) per $(-h)$:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}\cdot\frac{(-h)}{(-h)}$$
Riscriviamo l’ultimo limite come segue:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}\cdot (-h)\hspace{1cm}(7)$$
Applichiamo anche in questo caso la regola secondo cui il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, per cui il limite (6) ovvero il limite (7) diventa:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}(-h)=\frac{1}{2}\cdot 0=0$$
Quest’ultimo risultato si ottiene facilmente perché riconosciamo il limite notevole:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}=\frac{1}{2}\hspace{1cm}(8)$$
Consideriamo adesso il secondo addendo del limite (5). Anche in questo caso riconosciamo facilmente che si tratta del limite notevole:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}=1\hspace{1cm}(9)$$
In definitiva, in virtù dei risultati (8) e (9), il limite (1) ovvero il limite (5) ha per risultato:
$$f'(x)=sin(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}+cos(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}=sin(x)\cdot 0 + cos(x)\cdot 1=cos(x)\blacksquare$$
$$C.V.D.$$
Derivata della funzione $cos(x)$ $-sin(x)$
Calcoliamo la derivata della funzione $f(x)=cos(x)$.
Dimostrazione
La dimostrazione è la stessa vista per la funzione $sin(x)$ con le dovute modifiche. Come sempre applicheremo la definizione di derivata ovvero il $lim$ del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ per $h\to 0$.
Partiamo dunque dalla definizione di derivata di una funzione:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$
$$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}$$
Ricordiamo adesso la formula di duplicazione del $cos(\cdot)$:
$$cos(x+h)=cos(x)\cdot cos(h)-sin(x)\cdot sin(h)$$
e sostituiamola in luogo di $cos(x+h)$:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(x)\cdot cos(h)-sin(x)\cdot sin(h)]-cos(x)}{h}$$
Raccogliendo a fattore comune il $cos(x)$ tra il primo e l’ultimo addendo, otteniamo:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{cos(x)\cdot [cos(h)-1]-sin(x)\cdot sin(h)}{h}$$
Quest’ultimo rapporto possiamo riscriverlo come segue $(^{*})$:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{cos(x)\cdot [cos(h)-1]}{h}-\frac{sin(x)\cdot sin(h)}{h}$$
Osserviamo adesso che, nell’ipotesi che sia $h\ne 0$, il numeratore è una combinazione di funzioni continue nella variabile $h$ (ricordiamo che $x$ è un numero), per cui possiamo applicare il teorema della somma di limiti:il limite della somma è la somma di limiti.
Per cui possiamo scrivere:
$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{cos(x)\cdot [cos(h)-1]}{h}-\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)\cdot sin(h)}{h}$$
Il limite viene fatto sulla variabile $h$, per cui possiamo portare fuori dal segno di $lim$ il $cos(x)$ e il $sin(x)$ da ciascuno dei due addendi nell’ultimo passaggio:
$$f'(x)=cos(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}-sin(x)\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}\hspace{1cm}(1)$$
Fermiamoci per un attimo sul primo dei due addendi della (1) e osserviamo che
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\hspace{1cm}(2)$$
Siamo, cioè, di fronte ad una forma indeterminata del tipo $0/0$. Per eliminare tale forma indeterminata, moltiplichiamo e dividiamo la (2) per $(-h)$:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[cos(h)-1]}{h}\cdot\frac{(-h)}{(-h)}=$$
$$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}\cdot (-h)=$$
il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, per cui l’ultimo passaggio:
$$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}\cdot\displaystyle\lim_{h\to 0}(-h)=\frac{1}{2}\cdot 0=0$$
Infatti, riconosciamo il limite notevole:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[1-cos(h)]}{h^2}=\frac{1}{2}\hspace{1cm}(3)$$
Consideriamo adesso il secondo addendo della (1). Riconosciamo facilmente che si tratta anch’esso del limite notevole:
$$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)}{h}=1\hspace{1cm}(4)$$
In definitiva, in virtù dei
$^{(*)}$ Nel scrivere questo rapporto abbiamo sfruttato la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, ovvero: $$\frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$$
Derivata della funzione ${x^{lpha}}$ $ rac{1}{cos^2(x)}$
funzioni, chiamiamole $f(x)$ e $g(x)$, è pari alla somma delle derivate delle singole funzioni.
In simboli:
$$\frac{d}{dx}(f(x) g(x))=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}$$
o, in maniera più compatta:
$$(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x)$$
$\lim_{h\to 0}$
$\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{3x}}{x^{\alpha}}$