Derivata di una costante
Ipotesi
Consideriamo la seguente funzione con $c$ costante generica reale:
$$f(x)=c\quad\quad\forall c\in\mathbb{R}$$
Tesi
Vogliamo dimostrare che la derivata di una costante è nulla.
Dimostrazione
Applichiamo la definizione di derivata di una funzione ovvero consideriamo il limite del rapporto incrementale $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:
$$f^\prime(x)\stackrel{\Delta}{=}\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Poiché la funzione è per ipotesi costante, il suo incremento $\Delta y$ è sempre nullo, qualunque sia l’incremento $\Delta x=h$ della variabile $x$.
Pertanto sarà nullo il rapporto incrementale $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ e quindi anche il suo limite ovvero la derivata della funzione $f(x)=c$.
In sintesi:
$$f^\prime(x)\stackrel{\Delta}{=}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h},\quad\forall h\neq 0$$
Se vogliamo interpretare questo risultato dal punto di vista geometrico, sarà sufficiente ricordare che $f(x)=c$ rappresenta l’equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse.
Poiché dal punto di vista geometrico la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla curva $f(x)$ in quel punto, in questo caso la tangente alla retta parallela all’asse delle $x$, $y=c$, coincide con la retta stessa, per cui tale tangente avrà coefficiente angolare nullo e quindi sarà nulla anche la sua derivata.
Da cui la tesi. $C.V.D.\blacksquare$