Derivata della funzione logaritmo
Ipotesi
Consideriamo la seguente funzione:
$$f(x)=log_a(x),\quad\forall x>0\quad\quad(1)$$
Tesi
Vogliamo dimostrare che la sua derivata è
$$f^\prime(x)=\frac{1}{x}\cdot log_a(e)$$
Dimostrazione
Applichiamo la definizione di derivata di una funzione ovvero consideriamo il limite del rapporto incrementale $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:
$$f^\prime(x)\stackrel{\Delta}{=}\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{log_a(x+h)-log_a(x)}{h}$$
Breve richiamo sui logaritmi
Applichiamo un importante risultato sui logaritmi.
Assegnate due generiche costanti $b, c$ entrambe positive, allora abbiamo il seguente teorema:
$$log_a\bigg(\frac{b}{c}\bigg)=log_a(b)-log_a(c)\quad\quad\forall b, c>0\quad\quad(2)$$
Riprendiamo la dimostrazione.
In virtù della $(2)$, possiamo riscrivere l’ultima espressione come segue:
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{log_a(x+h)-log_a(x)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{log_a\big(\frac{x+h}{x}\big)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log_a\bigg(\frac{x+h}{x}\bigg)=$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log_a\bigg(1+\frac{h}{x} \bigg)$$
Poniamo adesso
$$\frac{h}{x}=\frac{1}{z}\quad\quad\text{ovvero}\quad\quad\frac{1}{h}=\frac{z}{x}\quad\quad(3)$$
Osserviamo che, in virtù di come abbiamo scelto la posizione $(3)$, $z$ e $h$ sono inversamente proporzionali.
Ciò significa che quando $h$ tende a zero, $h\to 0$, allora $z$ tenderà ad infinito, $z\to \infty$.
Riprendiamo l’ultimo passaggio della dimostrazione e applichiamo il cambio di variabili $(3)$:
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log_a\bigg(1+\frac{h}{x} \bigg)=$$
$$=\lim_{z\to \infty}\frac{z}{x}\cdot log_a\bigg(1+\frac{1}{z} \bigg)=$$
$$=\frac{1}{x}\cdot \lim_{z\to \infty}z\cdot log_a\bigg(1+\frac{1}{z} \bigg)=$$
$$=\frac{1}{x}\cdot \lim_{z\to \infty}log_a\bigg(1+\frac{1}{z} \bigg)^z$$
Osserviamo, negli ultimi due passaggi, che abbiamo portato il termine $\frac{1}{x}$ fuori dal simbolo di $lim$, dal momento che quest’ultimo adesso viene fatto sulla variabile $z$ e non più sulla variabile $x$ grazie alla posizione $(3)$.
Brevi richiami sui limiti notevoli
Applichiamo un importante risultato sui logaritmi.
Assegnate due generiche costanti $b, c$ entrambe positive, allora abbiamo il seguente teorema:
$$log_a\bigg(\frac{b}{c}\bigg)=log_a(b)-log_a(c)\quad\quad\forall b, c>0\quad\quad(2)$$
Da cui la tesi. $C.V.D.\blacksquare$